Marie-Claude Arnaud

Let M be a closed manifold, we consider the bundle J^1 M of its 1-jets that is a contact manifold and the contact flow associated to the contact Hamiltonian H(q, p, z)=m(q)z+h(q,p) where h is a Tonelli Hamiltonian on T^*M and m : M —> R a positive function. We will prove that this flow has a compact global attractor and try to explore in which sense it has a unique invariant Legendrian submanifold (or some extension) homotopic to the zero section.

Skander Charfi

Le théorème de Birkhoff (1922) établit qu'une courbe essentielle invariante par un difféomorphisme du cylindre qui préserve l'aire et dévie la verticale est un graphe Lipschitz au-dessus du cercle. Un résultat de Marie-Claude Arnaud (2010) généralise ce résultat aux sous-variétés lagrangiennes exactes invariantes par le flot d’un Hamiltonien de Tonelli, les identifiant comme des graphes de solutions KAM faibles de l’équation d’Hamilton-Jacobi. Nous étendons ce résultat à une famille de sous-variétés lagrangiennes qui contient les sous-variétés lagrangiennes récurrentes sous l’action du flot Hamiltonien, et pour une topologie de convergence qui contrôle leur dilatation et enroulement. Nous montrons que ces sous-variétés sont des graphes Lipschitz au-dessus de la section nulle et, plus précisément, des graphes de différentielles de solutions de viscosité récurrentes.

Sylvain Crovisier

Nous étudions l’ensemble de rotation de certaines classes de difféomorphismes de l’anneau déviant la verticale et montrons l’existence de langues d’Arnold L(alpha) qui caractérisent l’ensemble des paramètres pour lesquels l’ensemble de rotation contient le nombre alpha.

Victor Maeght

Je vais vous présenter mon travail de fin d'année de Master 2, encadré par Marie-Claude Arnaud. Pour un système dynamique sur un espace mesuré X donné, on définit une décomposition de X en deux sous-ensembles invariants : une partie conservative, sur laquelle tout ensemble mesurable errant est de mesure nulle ; et une partie dissipative qui est une union d’ensembles mesurables errants. Les comportements dynamiques sont très différents sur l’un et l’autre de ces ensembles. Je parlerai des propriétés de tels objets, notamment leurs liens avec les points récurrents quand X est un espace topologique, ou encore avec les coefficients de conformité de volume lorsque X est une variété orientée. Si le temps me le permet, j'évoquerai également quelques variantes de ces décompositions.

Claude Viterbo

En utilisant les propriétés du complété pour la norme spectrale de l'espace des sous-variétés Lagrangiennes on montre qu'un flot dissipatif possède un attracteur de Birkhoff qui coincide avec celui défini par Birkhoff et étudié par Marie Charpentier en dimension 2. On montrera un certain nombre de propriétés topologiques de ces ensembles qui généralisent partiellement ce que l'on sait en dimension $2$.

Maxime Zavidovique

On s’intéressera à des solutions d’équations d’Hamilton-Jacobi de la forme $G(x,D_x u_\lambda, \lambda u_\lambda(x) ) = c_0$ où $G (x,p,u) : T^*M\times \R \to \R$ est un Hamiltonien continu vérifiant des hypothèses de coercivité et convexité en $p$, $M$ est une variété connexe compacte sans bord, et $c_0$ est la constante critique de $G(.,.,0)$ et $u_\lambda : M\to \R$ est l’inconnue. Le paramètre $\lambda>0$ a vocation à tendre vers $0$. Quand $G$ est strictement croissant en $u$, on sait qu’il y a existence et unicité de la solution $u_\lambda$ pour $lambda>0$ et que les solutions convergent quand $\lambda \to 0$. Ceci devient faux quand on n’a plus cette monotonie. On montrera qu’en gardant une hypothèse beaucoup plus faible de croissance « en moyenne » il n’y a que trois type de comportement de familles de solutions $u_\lambda$ pour $lambda>0$ : elles convergent, divergent vers $+\infty$ ou vers $-\infty$. Enfin quand $G$ est de la forme $G(x,p,u) = H(x,p)+a(x)u$ on obtient des résultats plus précis d’existence d’une famille de solutions qui converge et une qui tend vers $-\infty$.